[或然率]湖中游魚知多少？

湖中游魚知多少？
如果你在地理課本裏讀到：「╳╳湖總面積為╳╳╳公頃，
盛產淡水魚，估計湖裏魚的總數，達╳╳萬尾之多。」你會不
會懷疑：怎樣去數數湖裏有多少尾魚呢？
統計學家是用「捉、放、捉」（Capture-Recapture）這個
方法作出這樣的估計。首先，捕捉一定數量（= n）的魚，在它
們身上塗上記號，然後放回湖中。過了一段時候，再捕捉一定
數量（= m）的魚，看看其中有多少（= x）尾魚是塗有記號的。
由此，便可以估計湖中游魚的數目（= N）了。經過第一次捉放
後，N 尾魚中有n 尾塗上記號。第二次捉魚，可看作是隨意抽
m 尾魚。隨意抽一尾魚，發覺它是塗有記號，這個偶然事件的
概率是n／N 。重複這個偶然事件m 次，即是隨意抽m 尾魚，
抽的魚塗有記號的相對頻率是x／m。跟據「大數定律」，
n／N 與x／m 通常是很接近的，所以我們便估計N 是個很接近
mn／x 的數了。譬如第一次捉2000 尾魚，放了後又捉4000 尾，
其中20 尾是有記號的，那麼N 便大約是
2000 × 4000／20 = 400,000
我們也可以用「捉、放、捉」這方法來估計一份稿件裏面
有多少錯字（= N）。甲、乙兩人分別校稿一遍，假定甲發現n
個錯字，乙發現m 個錯字，其中x 個是甲也發現的。比對一下
湖中游魚的例子，錯字相當於魚，甲找出的錯字相當於第一次
捉的魚，加以記號。乙找出的錯字相當於第二次捉的魚，其中
那x 個錯字相當於有記號的魚。從數學眼光看，這兩個貌似「風
馬牛不相及」的問題是「似二而實為一」，所以錯字總數的估
計公式也是N ≈ mn／x 。
法國數學家拉普拉斯（Laplace）在19 出紀初期也利用「捉、
放、捉」這方法的「變着」來估計法國人口總數。拉普拉斯是
一位著名的數學家，他對數學作出不少重要貢獻，其中之一就
是把概率論成功地應用到人口學的問題上。在1802 年9 月23
日，在法國的30 個地區作了人口普查，統計人口總數為
2,037,615 人。但還有別的地區沒有進行人口普查，如何估計全
國的人口總數呢？ 根據普查的資料顯示，在普查的30 個地區
內，在1800、1801、1802 三年內共有215,599 名嬰兒誕生，而
由全國的資料可知全國（包括普查的30 個地區以外的地區）在
1802 年共有約1,000,000 名嬰兒誕生。於是拉普拉斯估計全國
人口是
2,037,615 × 3 × l,000,000／215,599 ≈ 28,352,844。
請你想一想，為什麼拉普拉斯的方法是類似湖中游魚知多
少的方法呢？

消灭零回复～

HP姐涉獵廣泛  

这个就不知道了，谁知道以后呢。

















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